Цель – разобрать разные виды задач на кредиты.
Вид занятия: урок обобщения знаний.
Ход занятия:
1. Проверяем домашнюю задачу (решение высвечивается на экране).
В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на 8 лет. Условия его возврата таковы:
— в январе 2026, 2027, 2028 и 2029 годов долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
— в январе 2030, 2031, 2032 и 2033 годов долг возрастает на 18% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
— к июлю 2033 года кредит должен быть полностью погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1125 тысяч рублей?
k | Sk |
Vk | Dk |
0 | S0 | — | S0 |
1 | 1,2 S0 | 1,2 S0 — 7/8 S0 | 7/8 S0 |
2,3 | и т. д. | и т. д. | и т. д. |
4 | 1,2·5/8 S0 | 1,2·5/8 S0 — 4/8 S0 | 4/8 S0 |
Σ1-4 = (1,2 S0 — 7/8 S0 + 1,2·5/8 S0 — 4/8 S0):2·4 = 2 S0 (1,2·13/8 – 11/8) = 1,15 S0
k | Sk | Vk | Dk |
5 | 1,18·4/8 S0 |
1,18·4/8 S0 — 3/8 S0 | 3/8 S0 |
6 | 1,18·3/8 S0 | 1,18·3/8 S0 — 2/8 S0 | 2/8 S0 |
7 | 1,18· 2/8 S0 | 1,18· 2/8 S0 — 1/8 S0 | 1/8 S0 |
8 | 1,18·1/8 S0 | 1,18·1/8 S0 | 0 |
Σ5 — 8 = (1,18·4/8 S0 — 3/8 S0 + 1,18· 2/8 S0 — 1/8 S0):2·3 + 1,18·1/8 S0 = 1,5 S0 (1,18·6/8 – 4/8) + 1,18/8 S0 = 1,5 · 0,385 S0 + 0,1475 S0 = 0,725 S0
Σ = (1,15 + 0,725) S0 = 1, 875 S0 = 1125000, то S0 = 600000 руб.
Ответ: 600000 рублей.
2. Решаем совместно задачи разных видов у доски.
1) В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 300 тыс. рублей на 6 лет. Условия его возврата таковы:
— в январе 2026, 2027 и 2028 годов долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
— в январе 2029, 2030 и 2031 годов долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
— к июлю 2031 года кредит должен быть полностью погашен. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 498 тысяч рублей. Найдите r.
r% = r/100, 1 + r/100 = p
k | Sk | Vk | Dk |
0 | S0 | — | S0 |
1 | 1,2 S0 | 1,2 S0 – 5/6 S0 | 5/6 S0 |
2 | 1,2·5/6 S0 | 1,2·5/6 S0 – 4/6 S0 | 4/6 S0 |
3 | 1,2·4/6 S0 | 1,2·4/6 S0 – 3/6 S0 | 3/6 S0 |
4 | p ·3/6 S0 | p ·3/6 S0 – 2/6 S0 | 2/6 S0 |
5 | p ·2/6 S0 | p ·2/6 S0 — 1/6 S0 | 1/6 S0 |
6 | p ·1/6 S0 | p ·1/6 S0 | 0 |
Σ = (1,2·15/6 – 12/6) S0 + p· S0 – 0,5 S0 = 0,5 S0 + p· S0 = S0 (0,5 + p) = 498
p = 498/300 – 0,5 = 1,16, то r = (1,16-1)·100 = 16%
Ответ: 16%
2) В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на 10 лет. Условия его возврата таковы:
— в январе 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов на сумму 650 тыс. рублей долг возрастает на 19 % по сравнению с концом предыдущего года;
— в январе 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг возрастает на 16% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
— к июлю 2035 года кредит должен быть полностью погашен. Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.
k | Sk | Vk | Dk |
0 | S0 | — | S0 |
1 | 1,19 S0 | 1,19 S0 – 0,9 S0 = 0,29 S0 | 0,9 S0 |
2,3,4 | …… | ……. | …. |
5 | 1,19·0,6 S0 | 1,19·0,6 S0 – 0,5 S0 = 0,214 S0 | 0,5 S0 |
6 | 1,16·0,5 S0 | 1,16·0,5 S0 – 0,4 S0 = 0,18 S0 | 0,4 S0 |
7,8 | ….. | ….. | …. |
9 | 1,16·0,2 S0 | 1,16·0,2 S0 – 0,1 S0 = 0,132 S0 | 0,1 S0 |
10 | 1,16·0,1 S0 = 0,116 S0 | 0,116 S0 | 0 |
Σ = ( 0,29 + 0,214):2·5 S0 + (0,18 + 0,132):2·4 S0 + 0,116 S0 = 2,5 S0·0,504 + 2 S0·0,312 + 0,116 S0 = 2 S0 = 2·650000 = 1300000 руб.
Ответ: 1300000 рублей.
3. Работа в группах.
Ребята разбиваются по группам и получают задачи для совместного решения в группе. Ребята решают задачу письменно. Затем решения сканируются и высвечиваются на экран для разбора. (4 группы по 3-4 человека)
1. В июле 2022 года планируется взять кредит на пять лет в размере 1050 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 10 % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июле 2023, 2024 и 2025 годов долг остаётся равным 1050 тыс. рублей;
— выплаты в 2026 и 2027 годах равны;
— к июлю 2027 года долг будет выплачен полностью.
На сколько рублей последняя выплата будет больше первой?
2. В июле 2022 года планируется взять кредит на пять лет в размере 220 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июле 2023, 2024 и 2025 годов долг остаётся равным 220 тыс. рублей;
— выплаты в 2026 и 2027 годах равны;
— к июлю 2027 года долг будет выплачен полностью. Найдите r, если известно, что долг будет выплачен полностью и общий размер выплат составит 420 тыс. рублей.
3. Алексей планирует 15 декабря взять в банке кредит на 2 года в размере
1 806 000 рублей. Сотрудник банка предложил Алексею два различных варианта погашения кредита, описание которых приведено в таблице.
Вариант 1 | — каждый январь долг возрастает на 15% по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; — кредит должен быть полностью погашен за два года двумя равными платежами. |
Вариант 2 | — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца; — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; — 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; — к 15-му числу 24-го месяца кредит должен быть полностью погашен. |
На сколько рублей меньше окажется общая сумма выплат банку по более выгодному для Алексея варианту погашения кредита?
4. 15 января планируется взять кредит в банке на 2 года. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что за 15-й месяц кредитования нужно выплатить 44 тыс. рублей. Сколько рублей нужно будет вернуть банку в течение всего срока кредитования?
4. Домашнее задание:
15 января планируется взять кредит в банке на некоторый срок (целое число месяцев). Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
На сколько месяцев планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 20 % больше суммы, взятой в кредит? (Считайте, что округления при вычислении платежей не производятся.)